Question

已知函數f(x)=

(3a-1)x+5a，x＜1 logax，x≥1

（a＞0且a≠1），現給出下列命題：
①當其圖象是一條連續不斷的曲線時，則a=

1

8

；
②當其圖象是一條連續不斷的曲線時，能找到一個非零實數a使f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
③當a∈(

1

8

，

1

3

)時，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④函數y=f（|x+1|）是偶函數．
其中正確命題的序號是

①③

．（填上所有你認為正確的命題的序號）

Answer 1

分析：①要滿足條件，則需要（3a-1）×1+5a=log_a1，解得即可；
②由①可得a的值，看是否滿足增函數即可；
③由條件分別判斷f（1+a）與f（1-a）的符號即可；
④根據偶函數的定義判斷即可．

解答：解：①當其圖象是一條連續不斷的曲線時，則a滿足：a＜0，a≠1，且（3a-1）×1+5a=log_a1=0，解得a=

1

8

，故①正確；
②當其圖象是一條連續不斷的曲線時，假設能找到一個非零實數a使f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，則a必須滿足

a＞1 3a-1＞0 (3a-1)×1+5a=0

，解得a不存在，故②不正確；
或由①可知：當其圖象是一條連續不斷的曲線時，a=

1

8

，而此時log

1

8

x是減函數，故不符合題意，應舍去，即滿足題意的a不存在；
③當a∈(

1

8

，

1

3

)時，1+a＞1，1-a＜1，∴f（1+a）=log_a（1+a）＜0，
f（1-a）=（3a-1）（1-a）+5a=-3a²+9a-1=-3(a-

3

2

)2+

23

4

，當a∈(

1

8

，

1

3

)時，此函數單調遞增，而f(1-

1

8

)=

5

64

＞0，
∴當a∈(

1

8

，

1

3

)時，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，即③正確；
④y=f（|x+1|=

(3a-1) |x+1|+5a，當-2＜x＜0時 loga|x+1|，當x≥0或x≤-2時

，其圖象關于y軸不對稱，故不是偶函數，即④不正確．
綜上可知：只有①③正確．
故答案為①③．

點評：正確理解函數的單調性和奇偶性是解題的關鍵．