Question

實數(shù)列a，a₁，a₂，a₃…，由下述等式定義．
（Ⅰ）若a為常數(shù)，求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求依賴于a和n的a_n表達式；
（Ⅲ）求a的值，使得對任何正整數(shù)n總有a_n+1＞a_n成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，代入求解即可；
（Ⅱ）由，得，令，所以，利用疊加法，可得，從而可得結(jié)論；
（Ⅲ）先得出，再對進行分類討論，從而可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴a₁=1-3a，a₂=-1+9a，a₃=7-27a…（2分）
（Ⅱ）由，得…（3分）
令，所以
所以b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=
==
=，…（6分）
所以…（7分）
所以=
=…（8分）
（Ⅲ）∵
=
∴…（10分）
如果，利用n無限增大時，的值接近于零，對于非常大的奇數(shù)n，有a_n+1-a_n＜0；
如果，對于非常大的偶數(shù)n，a_n+1-a_n＜0，不滿足題目要求．
當時，，于是對于任何正整數(shù)n，a_n+1＞a_n，因此即為所求．…（13分）
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項的研究，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．