Question

已知函數f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a（a為常數）．
（1）如果對任意x∈[1，2]，f（x）＞a²恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）設實數p，q，r滿足：p，q，r中的某一個數恰好等于a，且另兩個恰為方程f（x）=0的兩實根，判斷①p+q+r，②p²+q²+r²，③p³+q³+r³是否為定值？若是定值請求出：若不是定值，請把不是定值的表示為函數g（a），并求g（a）的最小值；
（3）對于（2）中的g（a），設，數列{a_n}滿足a_n+1=H（a_n）（n∈N^*），且a₁∈（0，1），試判斷a_n+1與a_n的大小，并證明之．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）＞a²，可得x²+（a-3）x-3a＞0，所以（x-3）（x+a）＞0對x∈[1，2]恒成立，又x-3＜0恒成立，可得x+a＜0對x∈[1，2]恒成立，得出a＜-x，又-x∈[-2，-1]，即可求出a的取值范圍；
（2）由△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0得：-1≤a≤3，不妨設a=p，則q，r恰為方程兩根，由韋達定理討論即可得出答案．
（3）由（2）得，通過求導數的方法即可求出函數的單調區間，再根據數列的知識即可求解．
解答：解：（1）∵f（x）＞a²，∴x²+（a-3）x-3a＞0，
∴（x-3）（x+a）＞0對x∈[1，2]恒成立，
又∵x-3＜0恒成立，∴x+a＜0對x∈[1，2]恒成立，
∴a＜-x，又-x∈[-2，-1]，
∴a＜-2．
（2）由△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0得：-1≤a≤3，
不妨設a=p，則q，r恰為方程兩根，由韋達定理得：
①p+q+r=3，qr=a²-3a，
②p²+q²+r²=a²+（q+r）²-2pr=a²+（3-a）²-2（a²-3a）=9，
③p³+q³+r³=a³+（q³+r³）=a³+（q+r）[q²-qr+r²]=3a³-9a²+27．
設g（a）=3a³-9a²+27，求導得：g（a）=9a²-18a=9a（a-2），
當a∈[2，3]時，g（a）＞0，g（a）遞增；當a∈[0，2]時，g（a）＜0，g（a）遞減；
當a∈[-1，0]時，g（a）＞0，g（a）遞增，
∴g（a）在[-1，3]上的最小值為min{g（-1），g（2）}=min{15，15}=15．
（3）由（2）得，
如果a∈（0，1），則，∴H（a）在（0，1）為遞增函數，
易知H（a）∈（0，1），∴a₁∈（0，1）⇒a₂∈（0，1），a_n∈（0，1）⇒a_n+1∈（0，1），
又∵，
∴a_n+1＜a_n．
點評：本題考查了函數的恒成立問題及數列的應用，難度較大，關鍵是掌握用導數求函數的單調區間．