Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）當x∈[-2，k]時，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可得c=1，再由-

b

2a

=-1，b²-4ac0=0求出a=1，b=2，c=1，從而得到f（x）的表達式．
（Ⅱ）如圖所示：當-2＜k≤-1時，最小值為f（k），當k＞-1時，最小值為f（-1）．

解答：解：（Ⅰ）依題意，把點（0，1）代入函數的解析式求得c=1，
再由-

b

2a

=-1，b²-4ac=0．解得a=1，b=2，c=1，
從而f（x）=x²+2x+1．
（Ⅱ）如圖所示：由于二次函數的對稱軸為x=-1，
當-2＜k≤-1時，最小值為f（k）=k²+2k+1．
當k＞-1時，最小值為f（-1）=0．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，用待定系數法求函數的解析式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．