Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點P在棱BB₁上運動（不含B，B₁兩點），求△APC₁的面積S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：建立空間直角坐標系后，設PB₁=t，在AC₁上任取一點Q，要使△APC₁的面積S最小，必有與，
求點P，Q的坐標后，即可求出三角形高的最小值，由此可求S的最小值．
解答：解：以D₁為原點，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸建立空間直角坐標系，
設PB₁=t（0＜t＜1），則A（1，0，1），C₁（0，1，0），P（1，1，t），在AC₁上任取一點Q（a，b，c），
由，得（a-1，b，c-1）=λ（-1，1，-1），
∴a=1-λ，b=λ，c=1-λ，
令x=1-λ，有Q（x，1-x，x），又，，，
當△APC₁的面積S的最小時，最小，必有，，
得，∴，
解得，這時=，即，又．
∴△APC₁的面積，即△APC₁的面積S的最小值為．
點評：本題考點是點、線、面間的距離的計算，由于本題易于建立空間直角坐標系求距離，進而求△APC₁的面積，所以選用了“坐標法”，但要注意過程中的細節處理，盡一切可能的降低運算量，如令x=1-λ．若用“幾何法”，易產生漏洞，因位置關系判斷不準而致求△APC₁的面積出錯．