Question

用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？

Answer 1

分析：先設設長方體的寬為x（m），利用長方體的體積公式求得其體積表達式，再利用導數研究它的單調性，進而得出此函數的最大值即可．

解答：解：設長方體的寬為x（m），則長為2x（m），高為h=

18-12x

4

=4.5-3x(m)(0＜x＜

3

2

)．
故長方體的體積為V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（m³）(0＜x＜

3

2

)．
從而V′（x）=18x-18x²=18x（1-x）．
令V′（x）=0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．
當0＜x＜1時，V′（x）＞0；當1＜x＜

2

3

時，V′（x）＜0，
故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值．
從而最大體積V=V′（x）=9×1²-6×1³（m³），此時長方體的長為2m，高為1.5m．
答：當長方體的長為2m時，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m³．

點評：利用導數解決生活中的優化問題，關鍵是要建立恰當的數學模型，函數的最值要由極值和端點的函數值確定．當函數定義域是開區間且在區間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．