Question

用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，則該長方體的長、寬、高各為

 

時，其體積最大．

Answer 1

分析：設長方體的寬為xcm，則長為2xcm，高為（

18-8x-4x

4

）cm；它的體積為V=2x•x•（

9

2

-3x）=9x²-6x³；對V求導，并令V′（x）=0，得x=1時，函數V有最大值，求出此時長，寬，高即可．

解答：解：設長方體的寬為xcm，則長為2xcm，高為（

18-8x-4x

4

）cm；
它的體積為V=2x•x•（

9

2

-3x）=9x²-6x³，（其中0＜x＜

3

2

）；
對V求導，并令V′（x）=0，得18x-18x²=0，解得x=0，或x=1；
當0＜x＜1時，函數V（x）單調遞增，當1＜x＜

3

2

時，函數V（x）單調遞減；
所以，當x=1時，函數V（x）有最大值，此時長為2cm，寬為1cm，高為1.5cm．
故答案為：2cm，1cm，1.5cm．

點評：本題考查了長方體模型的應用，本題中利用長方體的體積公式建立三次函數解析式，再利用求導法求得函數的最值，是中檔題．