Question

已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右準線與一條漸近線交于點M，F是右焦點，若|MF|=1，且雙曲線C的離心率．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點A（0，1）的直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點P、Q，且P在A、Q之間，若且，求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由對稱性，不妨設M是右準線與一漸近線的交點，
其坐標為M（），∵|MF|=1，∴，
又∴，，
解得a²=2，b²=1，所以雙曲線C的方程是；（6分）
（2）設直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l與雙曲線C的右支交于不同的兩點P、Q，
∴
∴且k＜0①（9分）
又∵且P在A、Q之間，，∴x₁=λx₂且，
∴∴，
∵=在上是減函數（∵f′（λ）＜0），
∴，
∴，由于，∴②（12分）
由①②可得：，（13分）
即直線l斜率取值范圍為（14分）
分析：（1）利用雙曲線的右準線與一條漸近線交于點M，可求點M的坐標，由|MF|=1，可得方程，借助于離心率及幾何量的關系，從而求出雙曲線的方程；
（2）將直線與雙曲線的方程聯立可得（1-2k²）x²-4kx-4=0，，從而可有，即且k＜0，再根據且，有，從而可求k的取值范圍．
點評：本題考查雙曲線標準方程的求解，關鍵是尋找幾何量之間的關系，考查直線與雙曲線的位置關系，通過聯立方程組，借助于根與系數的關系，從而使問題得解．