Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上．

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A、B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)

故可設(shè)C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.

則圓C的半徑為＝3.

所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足方程組

消去y，得到方程

2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.

由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0.從而

x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①

由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.

又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以

2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②

由①，②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1.

 

【解析】略