Question

（2013•閘北區二模）設定義域為R的函數f（x）=

2x+1

a+4x

為偶函數，其中a為實常數．
（1）求a的值，指出并證明該函數的其它基本性質；
（2）請你選定一個區間D，求該函數在區間D上的反函數f^-1（x）．

Answer 1

分析：（1）根據給出的函數是偶函數，直接利用偶函數的定義f（-x）=f（x）整理后求a的值，把求出的a值代入原函數解析式，利用函數單調性的定義判斷函數的單調性，結合指數函數的性質，利用基本不等式求出函數最值，由函數對應的方程無根判斷原函數沒有零點；
（2）由（1）得到了函數單調區間，選定一個單調區間或在單調區間內選擇一個子區間，由函數解析式解出x，把x和y 互換后得到函數的反函數．

解答：解：（1）因為f（x）=

2x+1

a+4x

為R上的偶函數，
所以對于任意的x∈R，都有

2-x+1

a+4-x

=

2x+1

a+4x

，
也就是2^-x+1•（a+4^x）=2^x+1•（a+4^-x），
即（a-1）（4^x+1）=0對x∈R恒成立，
所以，a=1．
所以f(x)=

2x+1

1+4x

．
由f(x1)-f(x2)=

2x1+1

1+4x1

-

2x2+1

1+4x2

=

2(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(1+4x1)(1+4x2)

設x₁＜x₂＜0，則(1+4x1)(1+4x2)＞0，2x2-2x1＞0，2x1+x2-1＜0，
所以，對任意的x₁，x₂∈（-∞，0），有

2(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(1+4x1)(1+4x2)

＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
故，f（x）在（-∞，0）上是單調遞增函數．
又對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），在x₁＜x₂時，(1+4x1)(1+4x2)＞0，
2x2-2x1＞0，2x1+x2-1＞0．
所以

2(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(1+4x1)(1+4x2)

＞0．
則f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是單調遞減函數．
對于任意的x∈R，f(x)=

2x+1

1+4x

=

2

2x+2-x

≤1，
故當x=0時，f（x）取得最大值1．
因為2^x+1＞0，所以方程f(x)=

2x+1

1+4x

=0無解，故函數f（x）=

2x+1

1+4x

無零點．
（2）選定D=（0，+∞），
由y=

2x+1

1+4x

，得：y（2^x）²-2×2^x+y=0
所以2x=

1+ 1-y2

y

，x=log2

1+ 1-y2

y

 （0＜y≤1）
所以f-1(x)=log2

1+ 1-x2

x

，x∈（0，1]．

點評：本題考查了函數奇偶性的性質，訓練了函數單調性的證明方法，訓練了利用基本不等式求函數的最值，考查了函數反函數的求法，求解一個函數的反函數時，一定要注意函數反函數的定義域是原函數的值域，此題是中檔題．