Question

8、若f（n）表示n²+1（n∈N^*）的各位數字之和，如：6²=36，36+1=37，3+7=10，則f（6）=10，記f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…f_k+1（n）=f（f_k（n））（k∈N^*），則f₂₀₀₉（8）=

5

．

Answer 1

分析：通過觀察前幾個函數值的規律得，f_n（8）構成一個周期為3的周期性的數列，再利用數列的周期性即可解決問題．

解答：解：.8²=64，64+1=65，6+5=11，∴f₁（8）=f（8）=11；
11²=121，121+1=122，1+2+2=5，∴f₂（8）=5；
5²=25，25+1=26，2+6=8，∴f₃（8）=8；
8²=64，64+1=65，6+5=11，∴f₄（8）=11，
∴f_n（8）構成一個周期為3的周期性的數列，
∴f₂₀₀₉（8）=f_3×669+2（8）=f₂（8）=5．

點評：本題主要考查了歸納推理、函數的周期性，以及數列遞推式，屬于基礎題．所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結論的推理．