Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c滿足：f(-

1

4

+x)=f(-

1

4

-x)，且f（x）＜2x的解集為(-1，

3

2

)
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（x）-mx（m∈R），若g（x）在x∈[-1，2]上的最小值為-4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由函數圖象關于直線x=-

1

4

對稱，得到a=2b，再由f（x）＜2x的解集為(-1，

3

2

)得到相應方程的根為x₁=-1，x₂=

3

2

且a＞0，結合根與系數的關系可得關于a、b、c方程組，由此聯解即可得到a、b、c的值，從而得到求f（x）的解析式；
（2）由（1）得函數g（x）=2x²+（1-m）x-3，圖象關于直線x=

m-1

4

對稱．因此分m＜-3時、-3≤m≤9時和m＞9時三種情況，根據函數的單調性列出各種情況下的最小值為4的式子，解出m的值并結合大前提進行取舍，最后綜合即可得到符合題意的實數m的值．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）=ax²+bx+c滿足f（-

1

4

+x）=f（-

1

4

-x）
∴函數的圖象關于直線x=-

1

4

對稱，可得-

b

2a

=-

1

4

 即a=2b …①
又∵不等式f（x）＜2x，即ax²+（b-2）x+c＜0的解集為（-1，

3

2

）
∴方程ax²+（b-2）x+c=0的兩根分別為x₁=-1，x₂=

3

2

且a＞0．
根據根與系數的關系，得

-1+ 3 2 =- b-2 a -1× 3 2 = c a

…②
聯解①②得：a=2，b=1，c=-3
∴函數f（x）的解析式為：f（x）=2x²+x-3
（2）函數g（x）=2x²+（1-m）x-3圖象的對稱軸方程為：x=

m-1

4

①當

m-1

4

＜-1時，即m＜-3時，g（x）_min=g（-1）=m-2
由m-2=-4  得m=-2＞-3不符合題意
②當-1≤

m-1

4

≤2時，即-3≤m≤9時，g（x）_min=g（

m-1

2

）=-4，
解得：m=1

+

.

2

∈[-3，9]，符合題意
③當

m-1

4

＞2時，即m＞9時，g（x）_min=g（2）=7-2m
由7-2m=-4 得m=

11

2

＜5．不符合題意
綜上所述，符合題意的實數m的值為1

+

.

2

．

點評：本題給出二次函數含有字母參數的表達式，在已知函數圖象對稱軸的情況下求函數的表達式，并討論另一個函數的最小值，著重考查了二次函數的圖象與性質、一元二次方程根與系數的關系，考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．