Question

已知三點A（1，y₁），B（2，y₂），C（3，y₃）不共線，其中y_i∈{4，5，6，7，8，9}（i=1，2，3）．若對于△ABC的內心I，存在實數λ，使得，則這樣的三角形共有________個．

Answer 1

30
分析：先判斷出三角形ABC 中，BA=BC，利用兩點距離公式得出|y₂-y₁|=|y₃-y₂|，由于A，B，C三點不共線，只能有y₂-y₁=-（y₃-y₂），即y₃=y₁≠y₂．y₂先從∈{4，5，6，7，8，9}中任取一個數，共有6中取法，y₃，y₁從剩余的五個數中相同的取一個，共有5中取法，共有6×5=30中取法，及共有30個三角形．
解答：如圖．

設D為AC中點，根據向量加法的幾何意義，，又，所以共線，
所以BD既為內角∠ABC的平分線，也為一條中線，所以BA=BC．
根據兩點距離公式，得出|y₂-y₁|=|y₃-y₂|，
由于A，B，C三點不共線，所以y₂-y₁≠y₃-y₂，
只能有y₂-y₁=-（y₃-y₂），即y₃=y₁≠y₂
y₂先從∈{4，5，6，7，8，9}中任取一個數，共有6中取法，y₃，y₁從剩余的五個數中相同的取一個，共有5中取法，
共有6×5=30中取法，及共有30個三角形．
故答案為：30．
點評：本題考查了向量加法的幾何意義，三角形五心的有關性質，乘法計數原理．將三者巧妙的結合，是好題．