Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=x2（x﹣a）．
（1）若函數f（x）在區間 內是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值h（a）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3﹣ax2，

∴f'（x）=3x2﹣2ax．

∵函數f（x）在區間 內是減函數，

∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在 上恒成立．

即 在 上恒成立，

∵ ，

∴a≥1．故實數a的取值范圍為[1，+∞）

（2）解：∵ ，

令f'（x）=0得 ．

①若a≤0，則當1≤x≤2時，f'（x）＞0，

所以f（x）在區間[1，2]上是增函數，

所以h（a）=f（1）=1﹣a．

②若 ，即 ，

則當1≤x≤2時，f'（x）＞0，

所以f（x）在區間[1，2]上是增函數，

所以h（a）=f（1）=1﹣a

③若 ，即 ，

則當 時，f'（x）＜0；

當 時，f'（x）＞0．

∴f（x）在 上是減函數，在 上是增函數．

∴ ．

④若a≥3，即 ，

則當1＜x＜2時，f'（x）＜0，

所以f（x）在區間[1，2]上是減函數．

所以h（a）=f（2）=8﹣4a．

綜上

【解析】（1）由f（x）=x3﹣ax2 ， 知f'（x）=3x2﹣2ax．由函數f（x）在區間 內是減函數，知f'（x）=3x2﹣2ax≤0在 上恒成立．由此能求出實數a的取值范圍．（2）由 ，令f'（x）=0得 ．若a≤0，則當1≤x≤2時，f'（x）＞0，所以h（a）=f（1）=1﹣a；若 ，當1≤x≤2時，f'（x）＞0，所以h（a=f（1）=1﹣a；若 ， 時，f'（x）＜0；當 時，f'（x）＞0．所以 若a≥3，當1＜x＜2時，f'（x）＜0，所以h（a）=f（2）=8﹣4a．由此能得到結果．
【考點精析】掌握函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．