Question

對于連續(xù)函數(shù)f（x）和g（x），函數(shù)|f（x）-g（x）|在閉區(qū)間[a，b]上的最大值稱為f（x）與g（x）在閉區(qū)間[a，b]上的“絕對差”，記為△（f（x），g（x）），則x∈[2，3]時，△（

1

x+1

，

2

9

x²-x）=

 

．

Answer 1

分析：由已知中關(guān)于f（x）與g（x）在閉區(qū)間[a，b]上的“絕對差”的定義，我們構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=

1

x+1

-（

2

9

x²-x），根據(jù)函數(shù)的值域，及分析出F（x）＞0恒成立，再根據(jù)x∈[2，3]時，F(xiàn)′（x）＜0，可得當(dāng)x=2時F（x）=f（x）-g（x）取最大值，代入計算即可得到答案．

解答：解：令F（x）=f（x）-g（x）=

1

x+1

-（

2

9

x²-x）
∴x∈[2，3]時，F(xiàn)（x）＞0恒成立
又∵x∈[2，3]時，F(xiàn)′（x）＜0
∴x∈[2，3]時，F(xiàn)（x）為減函數(shù)
當(dāng)x=2時F（x）=f（x）-g（x）的最大值為

13

9

∴△（

1

x+1

，

2

9

x²-x）=

13

9

故答案為：

13

9

．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)最值的應(yīng)用，其中根據(jù)y=

1

x+1

與y=

2

9

x²-x的值域，分析出x∈[2，3]時，F(xiàn)（x）＞0恒成立，從而避免討論絕對值問題是解答本題的關(guān)鍵．