Question

函數f（x）=ax³+bx在點（1，f（1））的切線為方程為3x-3y-2=0．
（1）求a，b的值；
（2）定義：對于連續函數f（x）和g（x），函數|f（x）-g（x）|在閉區間[a，b]上的最大值稱為f（x）與g（x）在閉區間[a，b]上的“絕對差”，記為

△

a→ b

（f（x），g（x））．若g(x)=

1

2

x2+2x-m，且

△

-2→ 3

（f（x），g（x））=

10

3

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）（1）求導函數，根據函數f（x）=ax³+bx在點（1，f（1））的切線為方程為3x-3y-2=0，即可求得a，b的值；
（2）本題已知絕對值差是

10

3

，故要利用導數求出F（x）=f（x）-g（x）的最大值與最小值，由于不知那一個的絕對值最大，故可以討論建立方程，求出參數的值即可．

解答：解：（1）求導函數f′（x）=3ax²+b
∵函數f（x）=ax³+bx在點（1，f（1））的切線為方程為3x-3y-2=0．
∴3a+b=1，a+b=

1

3

∴a=

1

3

，b=0；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x³-

1

2

x2-2x+m
∴F'（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
∴函數F（x）閉區間[-2，-1]上是增函數，[-1，2]上是減函數，[2，3]是增函數
∵F（-2）=-

2

3

+m，F（-1）=

7

6

+m，F（2）=-

10

3

+m，F（3）=-

3

2

+m
∵

△

-2→ 3

（f（x），g（x））=

10

3

，
∴|

7

6

+m|=

10

3

（m＞0）或|-

10

3

+m|=

10

3

（m＜0）
∴m=

13

6

點評：本題考點是利用導數研究函數的最值，考查導數的幾何意義，考查新定義，出題方式新穎，考查了對新定義的理解能力與利用導數求最值的能力．