Question

已知數列{a_n}中a₁=1，（n∈N⁺）．
（1）求證：數列為等差數列；
（2）設b_n=a_n•a_n+1（n∈N⁺），數列{b_n}的前n項和為S_n，求滿足的最小正整數n．

Answer 1

（1）證明：由a₁=1與得a_n≠0，，
所以對?n∈N⁺，為常數，
故為等差數列；
（2）解：由（1）得，
，
所以==，
由即，得，
所以滿足的最小正整數n=503．
分析：（1）對（n∈N⁺）兩邊取導數，然后利用等差數列的定義即可證明．
（2）先由（1）求出，進而求出a_n，b_n，然后利用列項相消法求出S_n，再解不等式即可求得最小整數n；
點評：本題考查數列遞推式、等差數列的判定及數列求和問題，若{a_n}為等差數列，公差為d（d≠0），則{}的前n項和用列項相消法，其中=．