Question

設函數f（x），g（x）的定義域都是D，h（x）=f（x）+g（x），若f（x），g（x）的最大值分別是M、N，最小值分別是m、n，給出以下三個結論：
（1）h（x）的最大值一定是M+N；
（2）h（x）的最小值一定是m+n；
（3）h（x）的值域一定是[m+n，M+N]．
上述錯誤的結論個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：舉出反例f（x）=sinx，g（x）=cosx，可得h（x）=

2

sin(x+

π

4

)的最大值不是兩個函數各自的最大值M、N之和，最小值不是兩個函數各自的最小值m、n之和，值域也不是[m+n，M+N]．由此可得3個命題均為假命題．

解答：解：設函數f（x）=sinx，g（x）=cosx，它們的定義域都為R
則f（x）、g（x）的最大值都是1，最小值都是-1．即M=N=1且m=n=-1；
∵h（x）=f（x）+g（x）=

2

sin(x+

π

4

)
∴h（x）的最大值為

2

，而最小值為-

2

由此可得h（x）的最大值不一定是M+N；最小值不一定是m+n；
值域也不一定是[m+n，M+N]．3個命題都錯誤
故選：D

點評：本題給出函數最值的3個結論，要我們找出錯誤結論的個數．著重考查了函數的最值與值域及其性質，屬于中檔題．值得注意的是要證明某個命題是假命題，只要舉出恰當的反例說明其的錯誤性，無需嚴格證明過程．