Question

在三棱柱ABC-EFG中，側棱垂直于底面，AC=3，BC=4，AB=5，AE=4，點D是AB的中點．
（1）求證：AE∥平面BFGC；     
（2）求證：AC⊥BG；    
（3）求三棱錐C-DBF的體積．

Answer 1

分析：（1）根據棱柱的結構特征可得AE∥CG，進而由線面平行的判定定理得到AE∥平面BFGC；
（2）根據直棱柱的結構特征可得AC⊥CG，由勾股定理可得AC⊥BC，進而由線面垂直的判定定理得到AC⊥面GBC，進而由線面垂直的性質得到AC⊥BG；
（3）由D為AB中點，可得三角形BCD的面積為三角形ABC面積的一半，結合BF為底面BCD上的高，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵AE∥CG，CG?平面BFGC，AE?平面BFGC
∴AE∥平面BFGC…（3分）
（2）在直三棱柱ABC-EFG中，AC⊥CG…（4分）
∵AC²+BC²=9+16=25=AB²
∴AC⊥BC．…（5分）
又∵GC∩BC=C，GC，BC?面GBC
∴AC⊥面GBC．…（6分）
∵GB?面GBC，
∴AC⊥BG．…（7分）
（3）S△CDB=

1

2

S△ABC=

3×4

4

=3…（8分）
∴VC-DBF=VF-CDB=

1

3

S△CDB•FB=

3×4

3

=4．…（10分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，直線與平面平行的判定，棱錐的體積，熟練掌握空間直線與平面垂直和平行的判定定理是解答的關鍵．