Question

（2010•聊城一模）如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，點C在平面PBA內的射影D在直線PB上．
（1）求證：AB⊥平面PBC；
（2）設AB=BC，直線PA與平面ABC所成的角為45°，求異面直線AP與BC所成的角；
（3）在（2）的條件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證AB⊥平面PBC，可證AB⊥PC，AB⊥CD，由線面垂直的性質及點在面內射影的定義可證明；
（2）由PC⊥平面ABC，知∠PAC=45°，設AB=BC=1，則PC=AC=

2

，以B為原點建立空間直角坐標系，求出點B、A、C、P坐標，進而寫出

AP

、

BC

的坐標，則異面直線AP與BC所成的角可轉化為

AP

、

BC

的夾角計算，注意其與異面角間的關系；
（3）取AC的中點E，連結BE，易證

BE

是平面PAC的一個法向量．設平面PAB的一個法向量為

n

=（x，y，z），由

n

⊥

BA

，

n

⊥

AP

可求得

n

，從而二面角C-PA-B的余弦值可轉化為兩法向量的夾角余弦值，注意向量的夾角與二面角夾角的關系；

解答：證明：（1）由于PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以AB⊥PC，
由于點C在平面PBA內的射影在直線PB上，
所以CD⊥平面PAB．
又因為AB?平面PBA，所以AB⊥CD．
因此AB⊥平面PCB．
解：（2）因為PC⊥平面ABC，
所以∠PAC為直線PC與平面ABC所成的角，
于是∠PAC=45°，設AB=BC=1，則PC=AC=

2

，
以B為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
則B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），P(1，0，

2

)，

AP

=(1，-1，

2

)，

BC

=(1，0，0)，

BA

=(0，1，0)，
因為cos＜

AP

，

BC

＞=

AP • BC

| AP |•| BC |

=

1

2

，
所以異面直線AP與BC所成的角為60°；
（3）取AC的中點E，連結BE，則

BE

=(

1

2

，

1

2

，0)．
因為AB=BC，所以BE⊥AC．
又因為平面PCA⊥平面ABC，所以BE⊥平面PAC．
因此，

BE

是平面PAC的一個法向量．
設平面PAB的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則由

n ⊥ BA n ⊥ AP

，得

y=0 x-y+ 2 z=0

，取z=1，得

y=0 x=- 2

，
因此，

n

=(-

2

，0，1)，
于是cos＜

n

，

BE

＞=

n • BE

| n || BE |

=

- 2 2

2 2 • 3

=-

3

3

．
又因為二面角C-PA-B為銳角，故所求二面角的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查線面垂直、異面直線及其所成角、二面角，考查空間向量在立體幾何中的應用．