Question

（2010•聊城一模）已知A、B為拋物線C：y²=4x上的不同兩點，F為拋物線C的焦點，若

FA

=-4

FB

，則直線AB的斜率為（　　）

• A．±

  2

  3

• B．±

  3

  2

• C．±

  3

  4

• D．±

  4

  3

Answer 1

分析：先設點A，B的坐標，求出直線方程后與拋物線方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程，求出兩根，再根據向量的有關知識得到坐標的關系，進而代入拋物線的方程中得到答案．

解答：解：由題意可知直線的斜存在，故可設為k（k≠0）
∵拋物線 C：y²=4x焦點F（1，0），準線x=-1，則直線AB的方程為y=k（x-1）
聯立方程

y=k(x-1) y2=4x

可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2(2+k2)

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k2

•k=

4

k

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)
∵

FA

=-4

FB

，
∴

x1-1=-4(x2-1) y1=-4y2

即

x1=-4x2+5 y1=-4y2

②
①②聯立可得，x2=

3k2-4

3k2

，y2=-

4

3k2

•k=-

4

3k

，代入拋物線方程y²=4x可得

16

9k2

=

3k2-4

3k2

×4
∴9k²=16
∴k=±

4

3

故選D

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，拋物線定義的應用以及向量的有關知識．