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某同學參加3門課程的考試.假設該同學第一門課程取得優秀成績的概率為
4
5
,第二、第三門課程取得優秀成績的概率分別為p,q(p>q),且不同課程是否取得優秀成績相互獨立.記ξ為該生取得優秀成績的課程數,其分布列為
ξ 0 1 2 3
p
6
125
a d
24
125
(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優秀成績的概率;
(Ⅱ)求P,q的值;
(Ⅲ)求數學期望Eξ.
分析:(I)由于事件“該生至少有1門課程取得優秀成績”與事件“ξ=0”是對立的,所以該生至少有1門課程取得優秀成績的概率為1-P(ξ=0);
(II)根據P(ξ=0)與P(ξ=3)建立關于p和q的方程組,解之即可求出p和q的值;
(III)先求出a和d的值,然后根據Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2P(ξ=2)+3P(ξ=3)即可求出數學期望.
解答:解:事件Ai表示“該生第i門課程取得優秀成績”,i=1,2,3,由題意知P(A1)=
4
5
,P(A2)=p,P(A3)=q
(I)由于事件“該生至少有1門課程取得優秀成績”與事件“ξ=0”是對立的,所以該生至少有1門課程取得優秀成績的概率是1-P(ξ=0)=1-
6
125
=
119
125

(II)由題意知P(ξ=0)=P(
.
A1
.
A2
.
A3
)=
1
5
(1-p)(1-q)=
6
125

P(ξ=3)=P(A1A2A3)=
4
5
pq=
24
125

整理得 pq=
6
25
,p+q=1
由p>q,可得p=
3
5
q=
2
5

(III)由題意知a=P(ξ=1)=P(A1
.
A2
.
A3
)+P(
.
A1
A2
.
A3
)+P(
.
A1
.
A2
A3)

=
4
5
(1-p)(1-q)+
1
5
p(1-q)+
1
5
(1-p)q
=
37
125

d=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=
58
125

Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2P(ξ=2)+3P(ξ=3)=
9
5

故所求數學期望為
9
5
點評:本題主要考查了互斥事件與對立事件的概念,以及離散型隨機變量的期望,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

某同學參加3門課程的考試.假設該同學第一門課程取得優秀成績的概率為
4
5
,第二、第三門課程取得優秀成績的概率分別為p,q(p>q),且不同課程是否取得優秀成績相互獨立.記ξ為該生取得優秀成績的課程數,其分布列為
ξ 0 1 2 3
p
6
125
a d
24
125
(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優秀成績的概率;
(Ⅱ)求數學期望Eξ.

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科目:高中數學 來源: 題型:

某同學參加3門課程的考試,假設該同學第一門課程取得優秀成績的概率為
4
5
.第二、第三門課程取得優秀成績的概率均為
2
3
,且不同課程是否取得優秀成績相互獨立.
(1)求該生恰有1門課程取得優秀成績的概率;
(2)求該生取得優秀成績的課程門數X的期望.

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科目:高中數學 來源:2011-2012年浙江省高二上學期提前班期中考試數學 題型:解答題

  某同學參加3門課程的考試。假設該同學第一門課程取得優秀成績的概率為,第二、第三門課程取得優秀成績的概率分別為(),且不同課程是否取得優秀成績相互獨立。記ξ為該生取得優秀成績的課程數,其分布列為

ξ

0

1

2

3

(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優秀成績的概率;

(Ⅱ)求的值;

(Ⅲ)求,的值.

 

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科目:高中數學 來源:2010年山東省高二下學期期末考試理科數學卷 題型:解答題

(滿分12分)某同學參加3門課程的考試.假設該同學第一門課程取得優秀的概率是,第二、第三門課程取得優秀成績的概率分別是p,q(p>q),且不同課程是否取得優秀成績相互獨立,記X為該生取得優秀成績的課程數,其分布列為

X

0

1

2

3

P

a

b

(1)   求該生至少有1門課程取得優秀成績的概率;

(2)   求p,q的值;

(3)   求數學期望E(X).

 

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