Question

已知函數f（x）=e^x-x （e為自然對數的底數）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P≠∅，求實數a的取值范圍；（3）已知n∈N﹡，且S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx（t為常數，t≥0），是否存在等比數列{b_n}，使得b₁+b₂+…b_n=S_n；若存在，請求出數列{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，令導函數為0求出根，判斷根左右兩邊的導函數的符號，進一步判斷出函數的單調性，求出函數的最小值．
（2）要使不等式有解，分離出參數a，構造新函數g（x），求出g（x）的導函數，判斷出g（x）的單調性，求出函數的最大值，令a小于最大值即可．
（3）通過微積分基本定理求出S_n，仿寫等式求出數列的通項，利用等比數列的定義說明存在這樣的等比數列．

解答：解：（1）f′（x）=e^x-1                              　　　　　　　　　　　　　　  
由f′（x）=0得x=0
當x＞0時f′（x）＞0．當x＜0時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上減
∴f（x）_min=f（0）=1                 
（2）∵M∩P≠∅，∴f(x)＞ax在區間[

1

2

，2]有解
由f（x）＞ax得e^x-x＞ax
即a＜

ex

x

-1在[

1

2

，2]上有解           　　　　　　　
令  g(x)=

ex

x

-1，  x∈[

1

2

，2]
∴g′(x)=

(x-1)ex

x2

∴g(x)在[

1

2

，1]上減，在[1，2]上增
又g(

1

2

)=2

e

-1，g(2)=

e2

2

-1，且g(2)＞g(

1

2

)
∴g(x)max=g(2)=

e2

2

-1
∴a＜

e2

2

-1                                               　　　　　　　　　　　　　
（3）設存在等比數列{b_n}，b₁+b₂+…+b_n=S_n
∵S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx=eⁿ-e^t
∴b₁=e-e^t         　　　　　　　　　　　 
n≥2時b_n=S_n-S_n-1=（e-1）e^n-1
當t=0時b_n=（e-1）e^n-1，數{b_n}為等比數列
t≠0時

b2

b1

≠

b3

b2

，則數{b_n}不是等比數列
∴當t=0時，存在滿足條件的數b_n=（e-1）e^n-1滿足題意

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數研究出函數的單調性，判斷出函數的最值，本題第二小題不等式有解問題，有解的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用單調性求函數在閉區間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數的取值．本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失敗．