Question

甲、乙兩位同學玩游戲，對于給定的實數(shù)a₁，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)：由甲、乙同時各拋一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把a₁乘以2后再減去12；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則把a₁除以2后再加上12，這樣就可得到一個新的實數(shù)a₂，對a₂仍按上述方法進行一次操作，又得到一個新的實數(shù)a₃，當a₃＞a₁時，甲獲勝，否則乙獲勝．若甲獲勝的概率為

3

4

，則a₁的取值范圍是______．

Answer 1

由題意得，a₃的結(jié)果有四種：
1．a(chǎn)₁→2a₁+12→2（2a₁+12）+12=4a₁+36=a₃，
2．a(chǎn)₁→2a₁+12→

1

2

（2a1+12）+12=a₁+18=a₃，
3．a(chǎn)₁→

1

2

a₁+12→

1

2

（

1

2

a₁+12）+12=

1

4

a₁+18=a₃，
4．a(chǎn)₁→

1

2

a₁+12→2（

1

2

a₁+12）+12=a₁+36=a₃，
每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率都是

1

4

∵a₁+18＞a₁，a₁+36＞a₁，
∴要使甲獲勝的概率為

3

4

，即a₃＞a₁的概率為

3

4

，
∴4a₁+36＞a₁，

1

4

a₁+18≤a₁，
或4a₁+36≤a₁，

1

4

a₁+18＞a₁，
解得a₁≥24或a₁≤-12．
故a₁的取值范圍是（-∞，12]∪[24，+∞）
故答案為：（-∞，12]∪[24，+∞）