Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）寫出a₂、a₃的值（只寫結果）并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）設，若對任意的正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知a₂=6，a₃=12，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，所以a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，由此可知數列{a_n}的通項公式為a_n=n（n+1）．
（2）由題設條件可推出=，令，則，當x≥1時，f'（x）＞0恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數，故f（x）_min=f（1）=3，，
要使對任意的正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式恒成立，則須使，即t²-2mt＞0，對?m∈[-1，1]恒成立，由此可知實數t的取值范圍．
解答：解：（1）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）∴a₂=6，a₃=12（2分）
當n≥2時，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴（5分）
當n=1時，a₁=1×（1+1）=2也滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=n（n+1）（6分）
（2）==（8分）
令，則，當x≥1時，f'（x）＞0恒成立
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數，故當x=1時，f（x）_min=f（1）=3
即當n=1時，（11分）
要使對任意的正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式恒成立，
則須使，
即t²-2mt＞0，
對?m∈[-1，1]恒成立，
∴，
∴實數t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）（14分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．