Question

將拋物線C：x²=12y上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

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，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線M
（1）求曲線M的方程
（2）若曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個公共點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線C：x²=12y上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

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，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而可求曲線M的方程；
（2）設(shè)若過A（1，0）的直線l平行于拋物線的對稱軸時，曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個公共點(diǎn)，若過A（1，0）的直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=k（x-1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根的判別式為0即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（1）設(shè)曲線M上任意一點(diǎn)P（x，y），則 P′(2x，

y

3

)在C上，
∴(2x)2=-12×

y

3

即 x²=-y為曲線M的方程，
（2）若過A（1，0）的直線l平行于拋物線的對稱軸時，曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個公共點(diǎn)，
此時直線l的方程為：x=1；
若過A（1，0）的直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2=-y

得：x²+kx-k=0，
若曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個公共點(diǎn)，
則△=k²+4k=0，⇒k=0或k=-4，
∴直線l的方程：y=0或y=-4x+4．
綜上所述，故曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個公共點(diǎn)時，直線l的方程為：x=0或y=0或y=-4x+4．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，主要考查求曲線的方程，拋物線的簡單性質(zhì)，關(guān)鍵是尋找動點(diǎn)坐標(biāo)之間坐標(biāo)關(guān)系．