Question

將拋物線C：x²=-4y上每一點的橫坐標變為原來的

1

2

，縱坐標變為原來的3倍，得到曲線M．
（1）求曲線M的方程；
（2）直線l過點（3，0），若曲線C上存在兩點關于直線l對稱，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線C：x²=-4y上每一點的橫坐標變為原來的

1

2

，縱坐標變為原來的3倍，得到動點坐標之間的關系，從而可求曲線M的方程；
（2）設點，利用點差法，根據P在拋物線含焦點的弓形內部，可得不等式，從而得解．

解答：解：（1）設曲線M上任意一點P（x，y），則P′(2x，

y

3

)在C上，
∴(2x)2=-4×

y

3

即x2=-

y

3

為曲線M的方程---------------------------------------------------------------（2分）
（2）設l：y=k（x-3）顯然k存在，且k≠0
拋物線C上關于l對稱的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P（x₀，y₀）

x 2 1 =-4y1 x 2 2 =-4y2

兩式相減得-

1

k

=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

-4

=-

x0

2

------------------------2
∴

x0= 2 k y0=k(x0-3)=2-3k

------------------------------------------------------------------2
因為P在拋物線含焦點的弓形內部∴y0＜-

x 2 0

4

----------------------------------------------------------3
∴3k³-2k²-1＞0⇒（k-1）（3k²+k+1）＞0∴k＞1--------------------------------------------------1

點評：本題的考點是圓錐曲線的軌跡問題，主要考查求曲線的方程，考查點差法，關鍵是尋找動點之間坐標關系，利用弦中點條件化簡．