Question

設f（x）=ax³-3ax²+b在區間[-1，2]上的最大值為3，最小值為-21，且a＞0，則（　　）

A．a=6，b=3

B．a=3，b=6

C．a=3，b=3

D．a=2，b=-3

Answer 1

分析：對f（x）進行求導，令f′（x）=0，求出極值點，利用導數研究函數的最值問題，同時要驗證端點問題，解出a，b；

解答：解：∵f（x）=ax³-3ax²+b，x∈[-1，2]，
∴f′（x）=3ax²-6ax=3ax（x-2），a＞0，
令f′（x）=0，得x=2或0
當0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
當-1＜x＜0或x＞2，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
f（x）在x=0處取極大值，也是在x∈[-1，2]上的最大值，f（x）_max=f（0）=3，可得b=3；
f（x）在x=2處取極小值，最小值可能等于f（2）或者f（-1）；
若f（x）_min═f（2）=8a-12a+3=-21，解得a=6；
若f（x）_min═f（-1）=-a-3a+3=-21，解得a=6；
∴a=6，b=3，
故選A；

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，此題逆向思維，已知最大值和最小值確定f（x）的解析式；