Question

函數是定義在（-1，1）上的奇函數．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）用單調性定義證明函數f（x）在（0，1）上是增函數．

Answer 1

解：（ I）∵函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，f（-x）=-f（x）…（2分）
故，
所以b=0，…（4分）
所以 ．…（5分）
（ II） 設0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，…（6分）
則△y=f（x₂）-f（x₁）==…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴△x=x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0…（10分）
∴而 ，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函數．…（12分）
分析：（I）已知函數是定義在（-1，1）上的奇函數，根據奇函數的定義f（-x）=-f（x），求出b的值，從而求出函數f（x）的解析式；
（II）可以 設0＜x₁＜x₂＜1，根據定義法判斷f（x₂）-f（x₁）與0的大小關系，從而進行證明；
點評：此題主要考查奇函數的性質及其應用，利用定義法求證函數的單調性，解題的關鍵是會化簡，此題是一道基礎題；