Question

（2009•大連一模）已知三棱錐A-BCD及其三視圖如圖所示．
（I）若DE⊥AB于E，DE⊥AC于F，求證：AC⊥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三視圖可知三棱錐A-BCD的底面是等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)為1，每個(gè)側(cè)面都是直角三角形，且棱錐的高AD=2，利用線面垂直的判定和性質(zhì)可以證得AC⊥DE，又DF⊥AC，則可得到線面垂直；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠DFE為二面角B-AC-D的平面角，分別在直角三角形ADB和直角三角形ADC中求出斜邊上的高DE、DF，則二面角B-AC-D的大小可求．

解答：（I）證明：由三視圖可得，三棱錐A-BCD中
∠ADB，∠ADC，∠DBC，∠ABC都等于90°，
每個(gè)面都是直角三角形；
如圖，

可得CB⊥面ADB，所以CB⊥DE，
又DE⊥AB，AB∩BC=B，所以DE⊥面ABC，
而AC?面ABC，所以DE⊥AC，
又DF⊥AC，DE∩DF=D，所以AC⊥面DEF．
（II）解：由（I）知∠DFE為二面角B-AC-D的平面角，
在直角三角形ADB中，由AD=2，DB=1，所以AB=

5

，
所以DE=

AD•DB

AB

=

2×1

5

=

2 5

5

在直角三角形DBC中，因?yàn)镈B=BC=1，所以DC=

2

，在直角三角形ADC中，
AD=2，DC=

2

，所以AC=

6

，
所以DF=

AD•DC

AC

=

2× 2

6

=

2 3

3

在直角三角形DEF中，
∴sin∠DFE=

DE

DF

=

2 5 5

2 3 3

=

15

5

．
∴∠DFE=arcsin

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，考查了二面角的求法，考查了三視圖，解答此題的關(guān)鍵是能根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)得到原幾何體中量的關(guān)系，是中檔題．