Question

已知函數f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知0≤b＜a，證明：ea-b-1＞ln

a+1

b+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，根據函數f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0處取得極值，可得f'（x）=0，從而可求m=1，進而可確定函數的單調性，從而可求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）構造函數G（x）=e^x-b-1-ln

x+1

b+1

，G'（x）=e^x-b-

1

x+1

，可得當x＞b≥0時，G'（x）＞0，所以G（x）單調遞增，根據 G（b）=1-

1

b+1

=

b

b+1

≥0，即可證得結論．

解答：證明：（Ⅰ）求導函數，f′(x)=ex-

1

x+m

因為函數f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0處取得極值，所以f'（x）=0，∴m=1
所以f′(x)=ex-

1

x+1

，函數的定義域為（-1，+∞） 
∵-1＜x＜0時，f'（x）＜0；x＞0時，f'（x）＞0；
∴x=0是函數的極小值點，也是最小值點
∴函數f（x）的最小值為f（0）=0
（Ⅱ）構造函數G（x）=e^x-b-1-ln

x+1

b+1

，G'（x）=e^x-b-

1

x+1

當x＞b≥0時，G'（x）＞0，所以G（x）單調遞增
又因為 G（b）=1-

1

b+1

=

b

b+1

≥0
∴0≤b＜a，G（a）＞G（b）≥0
∴e^a-b-1-ln

a+1

b+1

＞0
即 ea-b-1＞ln

a+1

b+1

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與單調性，考查構造函數證明不等式，解題的關鍵是構建函數，正確求導．