Question

已知A、B是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值為1，則橢圓的離心率（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先假設(shè)出點(diǎn)M，N，A，B的坐標(biāo)，然后表示出兩斜率的關(guān)系，再由|k₁|+|k₂|的最小值為1運(yùn)用基本不等式的知識可得到當(dāng)x=0時(shí)可取到最小值，進(jìn)而找到a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而可求得離心率的值．
解答：解：設(shè)M（x，y），N（x，-y），A（-a，0），B（a，0）
k₁=，k₂=
|k₁|+|k₂|=||+||=2=1
當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=0，y=b時(shí)等號成立
∴2=2=1∴a=2b
又因?yàn)閍²=b²+c²∴c=
∴e=
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用．圓錐曲線是高考的重點(diǎn)問題，基本不等式在解決最值時(shí)有重要作用，所以這兩方面的知識都很重要，一定要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．