Question

已知A、B是橢圓長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值為1，則橢圓的離心率（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先假設出點M，N，A，B的坐標，然后表示出兩斜率的關系，再由|k₁|+|k₂|的最小值為1運用基本不等式的知識可得到當x=0時可取到最小值，進而找到a，b，c的關系，進而可求得離心率的值．
解答：解：設M（x，y），N（x，-y），A（-a，0），B（a，0）
k₁=，k₂=
|k₁|+|k₂|=||+||=2=1
當且僅當=，即x=0，y=b時等號成立
∴2=2=1∴a=2b
又因為a²=b²+c²∴c=
∴e=
故選C．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質和基本不等式的應用．圓錐曲線是高考的重點問題，基本不等式在解決最值時有重要作用，所以這兩方面的知識都很重要，一定要強化復習．