Question

將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個(gè)數(shù)列的第1000項(xiàng)．

Answer 1

分析：由105=3×5×7，知不超過105而與105互質(zhì)的正整數(shù)有48個(gè)．由此能求出這個(gè)數(shù)列的第1000項(xiàng)．

解答：解：由105=3×5×7，
由容斥原理，每連續(xù)105個(gè)數(shù)中，
有105-（

105

3

+

105

5

+

105

7

）+

105

3×5

+

105

5×7

+

105

3×7

-

105

3×5×7

=105×（1-

1

3

）（1-

1

5

）（1-

1

7

）=48，
故不超過105而與105互質(zhì)的正整數(shù)有48個(gè)．
1000=48×20+48-8，
105×20=2100．
自105向前倒數(shù)，第9個(gè)與105互素的數(shù)是86，
∴在不超過105的與105互質(zhì)的數(shù)中第40個(gè)數(shù)是86．
∴所求數(shù)為2100+86=2186．
故這個(gè)數(shù)列的第1000項(xiàng)是2186．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．