Question

【題目】在數(shù)列中，，.數(shù)列滿足，且.

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）設數(shù)列的前項和為，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1); (2) ；(3) 當n為奇數(shù)時；當n為偶數(shù)時.

【解析】

（1）由遞推公式求出，再根據(jù)即可求出的值；（2）由，，結合同角三角函數(shù)關系，可化簡得，進而確定數(shù)列的首項與公比，代入等比數(shù)列通項公式即可得解；（3）由（2）中數(shù)列的通項公式，求出數(shù)列的前n項和，分n為奇數(shù)與n為偶數(shù)兩種情況進行討論求的取值范圍.

（1），，又且，

所以；

（2）因為，且，

所以，

所以，則，

因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，；

（3）由是首項為，公比為的等比數(shù)列知，

因為，得，

①當n為奇數(shù)時，，因為上式對正奇數(shù)恒成立，所以；

②當n為偶數(shù)時，，因為上式對正偶數(shù)恒成立，所以.

綜上所述，當n為奇數(shù)時；當n為偶數(shù)時.