Question

【題目】已知圓M：（x+m）2+y2＝4n2（m，n＞0且m≠n），點(diǎn)N（m，0），P是圓M上的動點(diǎn)，線段PN的垂直平分線交直線PM于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．

（1）討論曲線C的形狀，并求其方程；

（2）若m＝1，且△QMN面積的最大值為．直線l過點(diǎn)N且不垂直于坐標(biāo)軸，l與曲線C交于A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D．求證：直線AD過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）曲線的形狀答案不唯一，見解析，曲線的方程；（2）見解析，定點(diǎn)（4，0）

【解析】

（1）當(dāng)m＞n，由題意得QN-QM＝2n＜2m，此時Q點(diǎn)軌跡為雙曲線的左支；當(dāng)m＜n，

QN+QM＝2n＞2m，此時Q點(diǎn)軌跡為橢圓.根據(jù)概念直接求軌跡方程即可得解.

（2）由題意得Q點(diǎn)方程為，N（1，0），設(shè)直線l：x＝my+1，A（x1，y1），

B（x2，y2），D（x2，﹣y2），聯(lián)立方程得，，表示出直線AD的方程后即可得直線恒過（4，0），即可得證.

（1）當(dāng)m＞n，即N點(diǎn)在圓M外時，軌跡是雙曲線，如圖：

因?yàn)?/span>QP＝QN，則QN-QM＝QP-QM＝MP＝r＝2n＜MN＝2m，

所以點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，以2n為實(shí)軸長的雙曲線的左支，則Q點(diǎn)軌跡方程為；

當(dāng)m＜n，即N點(diǎn)在圓M內(nèi)時，軌跡是橢圓，如圖：

因?yàn)?/span>QP＝QN，則QN+QM＝QP+QM＝MP＝r＝2n＞MN＝2m，所以點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，以2n為長軸長的橢圓，則Q點(diǎn)軌跡方程為；

（2）因?yàn)?/span>△QMN的面積有最大值，故此時Q點(diǎn)軌跡是橢圓，即Q點(diǎn)所在方程為，

且當(dāng)Q點(diǎn)為上（下）短軸頂點(diǎn)時△QMN的面積最大，即有2，

解得n2＝4，

所以Q點(diǎn)方程為，N（1，0），設(shè)直線l：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），D（x2，﹣y2），

聯(lián)立，整理得，則，，

因?yàn)?/span>，

所以直線AD的方程為，

令y＝0，得，

則直線AD必過點(diǎn)（4，0），證畢．