Question

已知函數f（x）=e^2x-ae^x+x，x∈R．
（Ⅰ）當a=3時，求函數f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，ln2）上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導函數f'（x）=2e^2x-3e^2x+1=（2e^x-1）（e^x-1），再利用導函數值的正負求出函數的單調區間，進而求出函數f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）函數f（x）在（0，ln2）上是單調遞增函數?f'（x）=2e^2x-ae^x+1≥0，x∈（0，ln2）恒成立?a≤2ex+

1

ex

對任意x∈（0，ln2）恒成立，下面再利用函數的單調性求出不等式右邊的最大值即可求實數a的取值范圍．

解答：解：f'（x）=2e^2x-ae^x+1
（Ⅰ）當a=3時，f'（x）=2e^2x-3e^2x+1=（2e^x-1）（e^x-1）
令f'（x）＜0，得

1

2

＜ex＜1，-ln2＜x＜0
令f'（x）＞0，得ex＜

1

2

或e^x＞1，x＜-ln2或x＞0
∴f（x）在（-∞，-ln2），（0，+∞）上遞增，在（ln2，0）上遞減．
從而，f（x）_極大值=f（-ln2）=-

5

4

-ln2，f（x）_極小值=f（0）=-2．
（Ⅱ）令f'（x）=2e^2x-ae^x+1≥0，x∈（0，ln2），
即a≤2ex+

1

ex

對任意x∈（0，ln2）恒成立，
令t=e^x，t∈（1，2），
又令h(t)=2t+

1

t

，易知h（t）在（1，2）上為增函數
∴h（t）＞3，故a≤3

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值以及函數的單調性與導數的關系．利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是．教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．