Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求A₁C₁與B₁C所成角的大小；
（2）若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A₁C₁與EF所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)，證出AC∥A₁C₁，由此得到∠B₁CA就是A₁C₁與B₁C所成的角．然后在正三角形△ABC₁中加以計(jì)算，可得A₁C₁與B₁C所成角的大小；
（2）平行四邊形AA₁C₁C中可得AC∥A₁C₁，AC與EF所成的角就是A₁C₁與EF所成的角，進(jìn)而利用三角形中位線定理與正方形的性質(zhì)，即可算出A₁C₁與EF所成角的大小．

解答：解：（1）如圖，連接AC、AB₁，
∵多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，可得AC∥A₁C₁，
由此得到∠B₁CA就是A₁C₁與B₁C所成的角．
又∵AB₁=B₁C=AC，可得
△ABC₁為正三角形，
∴∠B₁CA=60°，即A₁C₁與B₁C所成角為60°．
（2）如圖，連接BD，
∵AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，可得AC∥A₁C₁，
∴AC與EF所成的角就是A₁C₁與EF所成的角． 
又∵EF是△ABD的中位線，
∴EF∥BD．
∵AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
即A₁C₁與EF所成角的大小為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中求異面直線所成角的大小，著重考查了正方體的性質(zhì)、異面直線所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．