Question

如下圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2,|AC|=,一曲線E過C點，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變.

(1)建立適當的坐標系，求曲線E的方程;

(2)設點K是曲線E上的一動點，求線段KA中點的軌跡方程;

(3)若F(1,)是曲線E上的一點，設M、N是曲線E上不同的兩點，直線FM和FN的傾斜角互補，試判斷直線MN的斜率是否為定值?如果是，求出這個定值;如果不是，請說明理由.

Answer 1

解：(1)如圖，以AB所在的直線為x軸，以AB的中點為原點建立直角坐標系.

    設P(x,y),

∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|

=+=4為定值，

∴動點P的軌跡為橢圓，且a=2,c=1,b=.

∴橢圓E的方程為+=1.

(2)設橢圓E上的動點K(x₁,y₁),線段KA的中點為Q(x,y)、A(-1,0),

    則x=,y=，即x₁=2x+1,y₁=2y.

    因此=1,即(x+)²+=1.

(3)∵M、N是橢圓上不同的兩點，且直線FM、FN的傾斜角互補，則直線FM、FN的斜率存在且不為零.

    設直線FM的方程為y=k(x-1)+,

    由消去y,整理得

(4k²+3)x²-4k(2k-3)x+4k²-12k-3=0.                                          (*)

    設M(x_M,y_M)、N(x_N,y_N),又F(1,)是直線FM與橢圓的交點,∴方程(*)的兩個根為1、x_M.

    由根與系數的關系得x_M=.                               ①

∵直線FM、FN的傾斜角互補,∴直線FN的斜率為-k,以-k代替①中的k得

x_N=.                                                              ②

    又∵y_M=k(x_M-1)+,

y_N=-k(x_N-1)+,

∴y_M-y_N=k(x_M+x_N-2)=k(-2)=.而x_M-x_N=.

∴y_M-y_N=(x_M-x_N).

∴直線MN的斜率是定值，其定值為.