Question

已知向量x=(1，t²-3),y=(-k，t)(其中實數k和t不同時為零)，當|t|≤2時,有x⊥y,當|t|＞2時,有x∥y.

(1)求函數關系式k=f(t);

(2)求函數f(t)的單調遞減區間;

(3)求函數f(t)的最大值和最小值.

Answer 1

解:(1)當|t|≤2時,由x⊥y得x·y=-k+(t²-3)t=0,得k=f(t)=t³-3t(|t|≤2).

當|t|＞2時,由x∥y得k=.所以k=f(t)=

(2)當|t|≤2時,f′(t)=3t²-3,由f′(t)＜0,得3t²-3＜0,解得-1＜t＜1.

當|t|＞2時,f′(t)==＞0.

∴函數f(t)的單調遞減區間是(-1,1).

(3)當|t|≤2時,由f′(t)=3t²-3=0得t=1或t=-1.∵1＜|t|≤2時,f′(t)＞0,

∴f(t)_極大值=f(-1)=2，f(t)_極小值=f(1)=-2.又f(2)=8-6=2,f(-2)=-8+6=-2,當t＞2時,f(t)=＜0.

又由f′(t)＞0知f(t)單調遞增,∴f(t)＞f(2)=-2,即當t＞2時,-2＜f(t)＜0.

同理可求,當t＜-2時,有0＜f(t)＜2,綜合上述得,當t=-1或t=2時,f(t)取最大值2;

當t=1或t=-2時,f(t)取最小值-2.