Question

3．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）面OC₁D∥面AB₁D₁．

Answer 1

分析 （1）線面平行，只需要證明線線平行．連接A₁C₁交于O₁．連接AO₁只需要證明AO₁∥C₁O即可．
（2）面面平行，只需要證明一個平面內條的兩條相交直線與平面平行即可，B₁D₁∥BD，AO₁∥C₁O，
BD∩C₁O=O，那么可證得面OC₁D∥面AB₁D₁．

解答 解：（1）由題意：幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，O是底ABCD對角線的交點，
∴B₁D₁∥BD，
連接A₁C₁交于O₁，連接AO₁，
$A{O}_{=}^{∥}$C₁O₁
∴C₁O₁AO是平行四邊形．
∴AO₁∥C₁O．
∵AO₁?面AB₁D₁；
∴C₁O∥面AB₁D₁；
得證．
（2）．∵B₁D₁∥BD，即OD∥B₁D₁，
OD?面OC₁D，
∴OD∥面AB₁D₁．
由（1）可得C₁O∥面AB₁D₁；
OD∩C₁O=O，
所以：面OC₁D∥面AB₁D₁．

點評 本題考查了線面平行和面面平行的證明．線面平行轉化為線線平行；面面平行轉化為線面平行．屬于基礎題．