Question

8．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2，數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（2）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n，并求滿足T_n＜55的最大正整數n．

Answer 1

分析 （1）由n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，S_n-1=2ⁿ-2，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，驗證當n=1時成立，求得數列{a_n}的通項，在數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．可得b_n+1-b_n=2．再利用等差數列的通項公式求得數列{b_n}的通項．
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，再利用“錯位相減法”求得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，由T_n＜55，可得（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜49，驗證當n=3時滿足T_n＜55．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2，
當n≥2時，S_n-1=2ⁿ-2，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
當n=1時，成立，
∴數列{a_n}的通項a_n=2ⁿ，
∵P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
∴b_n-b_n+1+2=0，b_n+1-b_n=2，
∴數列{b_n}是以b₁=1為首項，以2為公差的等差數列，
∴數列{b_n}的通項b_n=2n-1；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
數列{c_n}的前n項和T_n，
∴T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2²+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=2+$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
由T_n＜55，可得（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6＜55，化為（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜49．
當n=3時，左邊=（2×3-3）×2⁴=48＜49=右邊，
而當n=4時，左邊=（2×4-3）×2⁵=5×32＞49=右邊．
因此滿足T_n＜55，的最大正整數n=3．

點評 本題考查了等差數列和等比數列的通項公式及其前n項和公式、考查利用“錯位相減法”求數列前n項和的方法，考查數列與不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．