Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率e=，P₁為橢圓上一點，滿足•=0，•=，斜率為k的直線l 過左焦點F₁且與橢圓的兩個交點為P、Q，與y軸交點為G，點Q分有向線段所成的比為λ．
（I） 求橢圓C的方程；
（II） 設線段PQ中點R在左準線上的射影為H，當1≤λ≤2時，求|RH|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設||=r₁，||=r₂，•=0，利用△P₁F₁F₂為直角三角形，得出r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，利用向量的數量積公式即可得到r₂=，從而得 =，又e==，解得a，b．最后寫出橢圓C的方程；
（2）可求得|RH|關于k的表達式，在y=k（x+1）中，令x=0，得G（0，k），由定比分點坐標公式⇒k²=（3λ²+8λ+4），顯然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上遞增，從而求得|RH|的取值范圍．
解答：解：（1）設||=r₁，||=r₂，•=0，
△P₁F₁F₂為直角三角形且∠P₁F₂F₁=90，則r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，
由•=⇒r₁r₂cosF₁P₁F₂=⇒r₂=
由（2a-）²=+4c²得 =，又e==，解得a²=4，b²=3∴橢圓C的方程為+=1
（2）可求得|RH|=3+
在y=k（x+1）中，令x=0，得y=k，即得G（0，k），
由定比分點坐標公式⇒k²=（3λ²+8λ+4），
顯然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上遞增，
∴≤k²≤24，∴3≤|RH|≤3即為|RH|的取值范圍．
點評：本小題主要考查橢圓的方程、橢圓的簡單性質、定比分點坐標公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．