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(1)如果a、b＞0,且a≠b,求證:a3+b3＞a2b+ab2.

(2)如果a、b＞0且a≠b,求證:a5+b5＞a3b2+a2b3.

證明：(1)(a3+b3)(a2b+ab2)

=［()2+()2］［(b)2+(a)2］

≥(··b+··a)2

=(a2b+ab2)2,

“=”成立的條件是··a=··b,

即a=b時成立,但a≠b,故“=”不成立.

∴(a3+b3)(a2b+ab2)＞(a2b+ab2)2.

∴a3+b3＞a2b+ab2.

(2)(a5+b5)(a+b)=［()2+()2］［()2+()2］＞(·+·)2

=(a3+b3)2.

由(1)知a3+b3＞a2b+ab2,

∴(a5+b5)(a+b)＞(a2b+ab2)2=a2b2(a+b)2.

∴a5+b5＞a2b2(a+b)=a3b2+a2b3.

∴原不等式成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）求函數f(x)=
3x+2
x-2
的值域
（2）用反證法證明：如果a＞b＞0，那么
a
＞
b
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，在橢圓E上存在A，B兩點關于直線l：y=x+1對稱．
（Ⅰ）現給出下列三個條件：①直線AB恰好經過橢圓E的一個焦點；②橢圓E的右焦點F到直線l的距離為2
2
；③橢圓E的左、右焦點到直線l的距離之比為
1
2
．
試從中選擇一個條件以確定橢圓E，并求出它的方程；（注：只需選擇一個方案答題，如果用多種方案答題，則按第一種方案給分）
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓恰好經過橢圓E的上頂點S，求b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•合肥模擬）已知離心率為
2
2
的橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1、F2，圓C2：x2+y2=b2與直線l：y=
3
3
(x+4)相切．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如果直線l繞著它與x軸的交點旋轉，且與橢圓相交于P1、P2兩點，設直線P1F1與P2F1的斜率分別為k1和k2，求證：k1+k2=0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2為左、右焦點，離心率e=
1
2
，一個短軸的端點（0，
3
）；拋物線C2：y2=4mx（m＞0），焦點為F2，橢圓C1與拋物線C2的一個交點為P．
（1）求橢圓C1與拋物線C2的方程；
（2）直線l經過橢圓C1的右焦點F2與拋物線C2交于A1，A2兩點，如果弦長|A1A2|等于△PF1F2的周長，求直線l的斜率．

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