Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；l₁，l₂是過點P（0，2）且互相垂直的兩條直線，l₁交E于A，B兩點，l₂交E交C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求l₁的斜率k的取值范圍；
（Ⅲ）求

OM

•

ON

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的標準方程，根據離心率求得a和c關系，進而根據a求得b，則橢圓的方程可得．
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零設直線l₁和l₂的方程，分別于橢圓方程聯立消去y，根據判別式求得k的范圍，最后綜合可得答案．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），根據韋達定理求得x₀和y₀的表達式，進而表示M和N的坐標，最后表示出

OM

•

ON

根據k的范圍確定答案．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由

c a = 1 2 2a=4 a2=b2+c2

得

a=2 b= 3

∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零
∵l1：y=kx+2，∴l2：y=-

1

k

x+2．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

消去y并化簡整理，
得（3+4k²）x²+16kx+4=0
根據題意，△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k2＞

1

4

．
同理得(-

1

k

)2＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜4，k∈(-2，-

1

2

)∪(

1

2

，2)；
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
那么x1+x2=-

16k

3+4k2

，∴x0=

x1+x2

2

=-

8k

3+4k2

y0=kx0+2=

6

3+4k2

，∴M(-

8k

3+4k2

，

6

3+4k2

)
同理得N(-

8(- 1 k )

3+4(- 1 k )2

，

6

3+4(- 1 k )2

)，即N(

8 k

3+ 4 k2

，

6

3+ 4 k2

)
∴

OM

•

ON

=-

8k

3+4k2

•

8 k

3+ 4 k2

+

6

3+4k2

•

6

3 4 k2

=-

28

25+12(k2+ 1 k2 )

∵

1

4

＜k2＜4，∴2≤k2+

1

k2

＜

17

4

∴-

4

7

≤-

28

25+12(k2+ 1 k2 )

＜-

7

19

即

OM

•

ON

的取值范圍是[-

4

7

，-

7

19

)．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題綜合性強，要求學生要有較高地轉化數學思想的運用能力，能將已知條件轉化到基本知識的運用．