Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：直線A₁C₁⊥面BDD₁B₁；
（2）若AA₁=2，求四棱錐D₁-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）根據正方體的性質，得到BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，從而BB₁⊥A₁C₁，結合正方形A₁B₁C₁D₁中B₁D₁⊥A₁C₁，利用線面垂直判定定理即可證出直線A₁C₁⊥面BDD₁B₁；
（2）由AA₁=2算出正方形ABCD的面積為4，由DD₁⊥平面ABCD得到DD₁=2為四棱錐D₁-ABCD的高，由此結合錐體的體積公式即可算出四棱錐D₁-ABCD的體積．

解答：解：（1）BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，且A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥A₁C₁…（2分）
∵四邊形A₁B₁C₁D₁為正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁…（4分）
又∵BB₁?平面BDD₁B₁，B₁D₁?平面BDD₁B₁，BB₁∩B₁D₁=B…（6分）
∴直線A₁C₁⊥面BDD₁B₁；…（8分）
（2）∵AA₁=2，可得正方形ABCD的邊長等于2，
∴正方形ABCD的面積S=2×2=4…（10分）
∵DD₁⊥平面ABCD，∴DD₁為四棱錐D₁-ABCD的高…（12分）
∴V D1-ABCD=

1

3

×S_ABCD×DD₁=

8

3

，
即四棱錐四棱錐D₁-ABCD的體積為

8

3

．…（14分）

點評：本題在正方體中證明線面垂直，并求錐體的體積．著重考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質和錐體體積的求法等知識，屬于中檔題．