Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分別為棱CC₁，BC，AB，D₁C₁的中點．
（1）求證：點E，F，G，H四點共面；
（2）求證：平面A₁BC₁∥平面EFGH．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線性質，可得EF∥GH，從而可得點E，F，G，H四點共面；
（2）證明EF∥平面A₁BC₁，FG∥平面A₁BC₁，利用面面平行的判定定理，即可得到結論．

解答：證明：（1）∵E，F，G，H分別為棱CC₁，BC，AB，D₁C₁的中點
∴EF∥BC₁，GH∥BC₁，
∴EF∥GH，
∴點E，F，G，H四點共面；
（2）由（1）知EF∥BC₁，
∵EF?平面A₁BC₁，BC₁?平面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁，
同理FG∥平面A₁BC₁，
∵EF∩FG=F，
∴平面A₁BC₁∥平面EFGH．

點評：本題考查四點共面，考查面面平行，考查學生分析解決問題的能力，正確運用面面平行的判定定理是關鍵．