Question

1、已知函數f(x)=ax+

x-2

x+1

（a＞1），
求證：（1）函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數；
（2）方程f（x）=0沒有負數根．

Answer 1

分析：（1）證明函數的單調性，一個重要的基本的方法就是根據函數單調性的定義；
（2）對于否定性命題的證明，可用反證法，先假設方程f（x）=0有負數根，經過層層推理，最后推出一個矛盾的結論．

解答：證明：（1）設-1＜x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=ax1+

x1-2

x1+1

-ax2-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

x1-2

x1+1

-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數；
（2）假設x₀是方程f（x）=0的負數根，且x₀≠-1，則ax0+

x0-2

x0+1

=0，
即ax0=

2-x0

x0+1

=

3-(x0+1)

x0+1

=

3

x0+1

-1，①
當-1＜x₀＜0時，0＜x₀+1＜1，∴

3

x0+1

＞3，
∴

3

x0+1

-1＞2，而由a＞1知ax0＜1．∴①式不成立；
當x₀＜-1時，x₀+1＜0，∴

3

x0+1

＜0，∴

3

x0+1

-1＜-1，而ax0＞0．
∴①式不成立．綜上所述，方程f（x）=0沒有負數根．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的單調性就是隨著x的變大，y在變大就是增函數，y變小就是減函數，具有這樣的性質就說函數具有單調性，對于結論是否定形式的命題，往往用反證法證明．