Question

根據以下條件,分別求出雙曲線的標準方程.

(1)焦距為10,漸近線方程為y=±x;

(2)過點P(3,-),離心率為.

Answer 1

解:(1)由漸近線方程y=±x可設雙曲線方程為-y²=λ(λ≠0),即=1.

由a²+b²=c²得|4λ|+|λ|=25,即λ=±5.

∴所求雙曲線方程為=1或=1.

(2)依題意,雙曲線的焦點可能在x軸上,也可能在y軸上,分別討論如

下:若雙曲線焦點在x軸上,設=1為所求.

由e=,得.①

由點P(3,-2)在雙曲線上,得=1.②

又a²+b²=c²,由①②得a²=1,b²=.

∴雙曲線方程為x²-4y²=1.

若雙曲線焦點在y軸上,設=1為所求.

同理有=,=1,a²+b²=c².

解之,得b²=(不合題意,舍去).

故雙曲線的焦點只能在x軸上,

所有雙曲線方程為x²-4y²=1.