Question

一個底面為正三角形且側棱垂直于底面的三棱柱內接于半徑為的球，則該棱柱體積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：畫出圖形，設底面正三角形的邊長為a，然后根據勾股定理求得棱柱的高的一半，進而得到用a表示的三棱柱的體積，再利用導數即可求得答案．
解答：解：如圖所示，設球心為O，正三棱柱的上下底面的中心分別為O₁，O₂，底面正三角形的邊長為a，
則AO₂=×a=．
由已知得O₁O₂⊥底面，
在Rt△OAO₂中，∠AO₂O=90°，由勾股定理得OO₂===，
∴V_三棱柱=a²×2×=，
令f（a）=9a⁴-a⁶（0＜a＜2），
則f′（a）=36a³-6a⁵=-6a³（a²-6），令f′（a）=0，
又∵a＞0，解得a=．
∵在區間（0，）上，f′（a）＞0；在區間（，2）上，f′（a）＜0．
∴函數f（a）在區間（0，）上單調遞增；在區間（，2）上單調遞減．
∴函數f（a）在a=時取得極大值．
∵函數f（a）在開區間（0，2）有唯一的極值點，因此a=也是最大值點．
∴（V_三棱柱）_max=×=3．
故選C．
點評：本題考查了球的內接正三棱柱的最大體積問題，求出體積的表達式，然后利用導數求最值是解題的通法，考查計算能力．